3.4 迭代法收敛

迭代法的收敛条件

定理 i-3-4 (1)（充要条件） $\Norm{\bm M}_1 < 1$ $\Norm{\bm M}_\infty < 1$ $\bm A \bm x = \bm b$ 的迭代法收敛.

证明

$\rho(\bm B) < 1$ ，然后利用定理 i-3-3 (2).

$\exist \Norm{\cdot}_c \colon \Norm{\bm B}_c < 1$ $\clim k \Norm{\bm B^k}_c \le \clim k \Norm{\bm B}_c^k = \bm 0$ $\clim k \bm B^k = \bm 0$ $\forall \bm x \in \R^n \colon \clim k \bm B^k \bm x = \bm 0$ ，

$\exist \lambda \ge 1$ $\exist \bm x \ne \bm 0 \colon \bm B \bm x = \lambda \bm x$ $\Norm{\bm B^k \bm x} = \vqty{\lambda}^k \Norm{\bm x} \ne 0$ $\clim k \bm B^k \bm x \ne \bm 0$ ，矛盾.

$\rho(\bm B) < 1$ ，从而得证.

定理 i-3-4 (2)（充要条件） $\RLA \rho(\bm B) < 1$ .

证明

$\rho(\bm B) < 1 \RA$ 迭代法收敛.

由

{\begin{cases} x^{*} = B x^{*} + f, \\ x^{(k)} = B x^{(k - 1)} + f, \end{cases}

得

\begin{aligned} ε^{(k)} & = x^{(k)} - x^{*} = B (x^{(k - 1)} - x^{*}) \\ = B ε^{(k - 1)} = B^{k} (x^{(0)} - x^{*}) . \end{aligned}

$\rho(\bm B) < 1$ ，知

lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x^{*} + lim_{k \to \infty} ε^{(k)} = x^{*} + lim_{k \to \infty} B^{k} (x^{(0)} - x^{*}) = x^{*} .

$\RA \rho(\bm B) < 1$ .

$\forall \bm x^{(0)} \colon \clim k \bm x^{(k)} = \bm x^*$ ，

$\clim k \bm \ve^{(k)} = \clim k \bm B^{k} \bm \ve^{(0)} = \bm 0$ ，

$\clim k \bm B^k = \bm 0$ $\rho(\bm B) < 1$ . 证毕.